S. JINCHEN
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数学 / NOTEBOOK

张量

张量积、度规与不同指标写法的学习笔记。

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#张量#度规#线性代数

在LADR中，先引入了双线性泛函。academic-excerpt-05.webp V⊗W=B(V′,W′)V\otimes W=\mathcal{B}(V',W') 就是所有v⊗wv \otimes w 的线性组合形成的新的向量空间。V⊗WV \otimes W 是整个张量空间，v⊗wv \otimes w 是其中一个元素（纯张量）。多个向量空间的张量积同理。

度规

度规也是一种张量，度规张量有逆变分量gijg^{ij} 和协变分量gijg_{ij} ，度规也是双线性映射，g:V×V→Fg:V\times V \to \mathbb {F}
考虑ds2\mathrm{d}s^2 ，ds2\mathrm{d}s^2 = ⟨dr⃗,dr⃗⟩\langle \mathrm{d}\vec r, \mathrm{d}\vec r \rangle 。dr⃗\mathrm d \vec r = e⃗idxi\vec e_i \mathrm{d}x^i = e⃗jdxj\vec e^j\mathrm{d}x_j . 可以选择点乘号两侧都用逆变分量 dxi\mathrm{d}x^i：

ds2=dr⃗⋅dr⃗=e⃗idxi⋅e⃗jdxj=(e⃗i⋅e⃗j)dxidxj=gijdxidxj.\begin{aligned} \mathrm{d}s^2 &= \mathrm{d}\vec r \cdot \mathrm{d}\vec r \\ &= \vec e_i \mathrm{d}x^i \cdot \vec e_j \mathrm{d}x^j \\ &= (\vec e_i \cdot \vec e_j)\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j \\ &= g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j . \end{aligned}

其中，gijg_{ij} 是度规张量的协变分量。

另外，也可以选择点乘号两侧都用协变分量 dxi\mathrm{d}x_i：

ds2=dr⃗⋅dr⃗=e⃗ idxi⋅e⃗ jdxj=(e⃗ i⋅e⃗ j)dxidxj=gijdxidxj.\begin{aligned} \mathrm{d}s^2 &= \mathrm{d}\vec r \cdot \mathrm{d}\vec r \\ &= \vec e^{\,i}\mathrm{d}x_i \cdot \vec e^{\,j}\mathrm{d}x_j \\ &= (\vec e^{\,i}\cdot\vec e^{\,j})\mathrm{d}x_i\mathrm{d}x_j \\ &= g^{ij}\mathrm{d}x_i\mathrm{d}x_j . \end{aligned}

其中，gijg^{ij} 是度规张量的逆变分量。

第三种选择是点乘号的一侧用逆变分量，另一侧用协变分量：

ds2=e⃗idxi⋅e⃗ jdxj=(e⃗i⋅e⃗ j)dxidxj=dxidxi.\begin{aligned} \mathrm{d}s^2 &= \vec e_i \mathrm{d}x^i \cdot \vec e^{\,j}\mathrm{d}x_j \\ &= (\vec e_i\cdot\vec e^{\,j})\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x_j \\ &= \mathrm{d}x^i\mathrm{d}x_i . \end{aligned}

这种情况下没有度规，因为由于对偶基的定义e⃗i⋅e⃗j\vec e_i \cdot \vec e^j 要么是1要么是0（就像LADR中的线性泛函和对偶空间对偶基）。